Konsep Invers Matriks Penjumlahan dan Perkalian

Konsep Invers Matriks Penjumlahan dan Perkalian, Mendengar kata invers, Pak Teguh langsung teringat sosok dosen Fenomenal di Pendidikan Matematika UNS yakni Pak Ponco Sujatmiko dengan segala kenangan yang mungkin tidak akan terlupakan dalam mata kuliah Struktur Aljabar (He..he...Lebay banget). Okey, langsung saja, Konsep Invers tidak hanya terkait dengan matriks tapi terkait dengan operasi biner dalam struktur aljabar secara umum dan mempunyai cakupan yang sangat luas. Apa itu operasi biner? Ternyata operasi biner itu adalah pemetaan dari S X S ke S (Pada himpunan tak kosong S). Operasi biner dinyatakan dengan notasi  +, ×, *, , , dan lain sebagainya. Nanti di lain kesempatan akan Pak teguh bahas tersendiri. Kembali lagi ke Invers, Sebelum menuju invers kita harus mengetahui tentang elemen identitas. Apa itu elemen identitas? Elemen Identitas adalah elemen yang membuat operasi biner memetakan ke dirinya sendiri, atau secara matematis ditulis: terdapat e sedemikian sehingga untuk setiap a elemen S berlaku:
 a * e = e * a = a
maka e dinamakan elemen identitas. Nah sekarang apa kaitannya dengan Invers? Jika untuk setiap a anggota S, ada a-1sehingga  :
 a a-1 a-1 * a = e,
maka a-1dinamakan elemen invers dari a.
Jadi invers itu membuat hasil operasi biner memetakannnya ke elemen identitas.
Sudah jelas belum nih mengenai konsep elemen identitas dan invers?. Untuk lebih jelasnya, sekarang kita perhatikan operasi penjumlahan pada bilangan real. maka 0 adalah elemen identitasnya. Hayo ada yang tahu gak kenapa? Hal ini dikarenakan untuk setiap a bilangan real berlaku 
+ 0 = 0 + a = a
S nah -a adalah invers dari a. Contoh kita ambil 3 maka inversnya adalah -3.
 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0.

Matriks Identitas Penjumlahan

Sekarang kita kembali ke pokok pembicaraan kita yaitu Invers matriks, kita awali dulu untuk operasi penjumlahan matriks. Sebelum kita mencari invers matrik penjumlahan kita tentukan terlebih dahulu elemen identitas dari penjumlahan matriks. O iya pak teguh sampai lupa, semesta pembicaraan kita batasi untuk matriks berorde 2x2, untuk yang berode lain juga identik asal sesuai dengan sifat dan operasi aljabar pada matriks. Untuk mencari elemen identitas penjumlahan matriks, kita ingat kembali definisi elemen identitas di atas. Ambil sebarang matriks A berorde 2x2, maka matrik A dapat di tulis:

Kita akan mencari Matrik identitas I sehingga berlaku A+I=I+A=A, sesuai aturan dan sifat operasi penjumlahan matriks maka matrik I dapat ditulis:

Perhatikan operasi A+I=A berikut:

Dari kesamaan matriks di atas, Diperoleh:

Sehingga sesuai aturan dan sifat operasi aljabar pada bilangan real, diperoleh:


Sehingga diperoleh matriks  identitas penjumlahan I sebagai berikut:

Invers Matrik Penjumlahan

Nah Sekarang, kita akan mencari invers matriks. Ambil sembarang Matriks A berorde 2x2, maka dapat ditulis:
Akan dicari A-1 Sedemikian sehingga:
 A + A-1=A-1+A= I
 Perhatikan operasi berikut:


Dari kesamaan  matrik di atas diperoleh:

Dengan menggunakan aturan dan sifat operasi aljabar pada bilangan  real diperoleh:

Sehingga diperoleh invers jumlah dari matrik A :

Perlu diingat, Invers di atas adalah invers penjumlahan matriks.

Matriks Identitas Perkalian

Sekarang kita beralih pada operasi perkalian pada matriks, identik dengan operasi jumlah pada matriks, terlebih dahulu kita akan mencari elemen identitas perkalian matrik. Ambil sebarang matriks A berorde 2x2, maka dapat ditulis:
Akan di cari matrik identitas perkalian I sehingga berlaku AxI=IxA=A, sesuai aturan dan sifat operasi penjumlahan matriks maka matrik I dapat ditulis:

Perhatikan operasi AxI=A berikut:


Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

Perhatikan Persamaan (i) dan (iii):
kalikan persamaan (i) dengan d, dan kalikan persamaan (iii) dengan b, sehingga diperoleh:
jika dikurangkan akan diperoleh:

Sehingga jika ad-bc tidak nol, akibatnya p=1, dengan cara serupa diperoleh nilai q=0, r=0 dan s=1. Jadi Matriks identitas perkaliannnya adalah:

Invers Matriks Perkalian

Sekarang, kita akan mencari invers matriks perkalian. Ambil sembarang Matriks A berorde 2x2, maka dapat ditulis:
Akan dicari A-1 Sedemikian sehingga:
 A x A-1= I
 Perhatikan operasi berikut:

Dari kesamaan di atas, diperoleh kesamaaan sebagai berikut:


Perhatikan persamaan (i) dan (iii),

Kalikan persamaan (i) dengan d dan kalikan Persamaan (iii) dengan b:

Dengan cara yang identik diperoleh:

Sehingga diperoleh invers matrik perkalian:


ad-bc kemudian dinamakan determinan (det A) dan
dinamakan adjoin.






EmoticonEmoticon