Pembuktian Rumus Deret Geometri Tak Hingga

Seperti yang sudah dibahas pada Deret Geometri, deret geometri tak terhingga konvergen memiliki sebuah rumus untuk menentukan hasil penjumlahan semua suku hingga mendekati nol.

Dari mana datangnya rumus tersebut? Berikut ini pembuktiannya

Kita anggap garis-garis vertikal pada segitiga merah adalah suku-suku deret geometri konvergen (dari kiri ke kanan), garis horizontal juga membentuk deret yang sama.



garis vertikal terpanjang adalah suku pertama =  a

garis vertikal ke dua adalah suku ke dua           =  ar

garis vertikal ke tiga adalah suku ke tiga           =  ar²

                                            :

                                            :

begitu seterusnya dan begitu pula dengan garis yang horizontal.



Dengan memerhatikan deret yang terbentuk dari garis-garis horizontal,

kita dapatkan

alas segitiga merah = a + ar + ar² + ...



karena garis vertikal terpanjang = a dan garis vertikal ke dua = ar,

maka tinggi segitiga hijau = a - ar

dan alasnya sama panjang dengan garis merah horizontal pertama = a



Kedua segitiga tersebut (merah dan hijau) sebangun, sehingga

 alas merah        =        alas hijau          

tinggi merah               tinggi hijau



a + ar + ar² + ...    =       a        

            a                       a - ar



jika kedua ruas dikali a, maka jadilah



a + ar + ar² + ...   =      a    

                                    1 - r



                    S∞   =      a                      (terbukti)

                                   1 - r